REKLAMA
REKLAMA
Matura - poziom podstawowy
Matura - poziom rozszerzony

Egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy - czerwiec 2017 (termin dodatkowy)

Planimetria

Własności miarowe figur płaskich

Udostępnij

Zadanie 07/03/089 28. (2 pkt.) Poziom podstawowy 07/03/089

Dwusieczna kąta ostrego $ABC$ przecina przyprostokątną $AC$ trójkąta prostokątnego $ABC$ w punkcie $D$.
Egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy - czerwiec 2017 (termin dodatkowy) Planimetria Własności miarowe figur płaskich Zadanie 07/03/089 28. (2 pkt.) Poziom podstawowy 708
Udowodnij, że jeżeli $|AD|=|BD|$, to $|CD|=\frac{1}{2}\cdot |BD|$.

Podpowiedź:

Oznacz miary kątów $ABD$ i $DBC$ przez $\alpha$.
Z założenia trójkat $ADB$ jest równoramienny, więc kąt $DAB$ również ma miarę $\alpha$ (patrz rysunek).
Wskazówka //. ( pkt.) 709

REKLAMA

Rozwiązanie:

Oznaczamy miary kątów $ABD$ i $DBC$ przez $\alpha$.
Z założenia trójkat $ADB$ jest równoramienny, więc kąt $DAB$ również ma miarę $\alpha$ (patrz rysunek).
Rozwiązanie //. ( pkt.) 709
W trójkącie prostokatnym $ACB$ suma kątów ostrych jest równa $90^\circ$, więc $3\alpha=90^\circ$, a stąd $\alpha=30^\circ$.
Z trójkata $DCB$:
$\begin{split}
\frac{|CD|}{|DB|}&=\sin30^\circ\\
\frac{|CD|}{|DB|}&=\frac{1}{2}\\
|CD|&=\frac{1}{2}|DB|,
\end{split}$
co należało udowodnić.

Odpowiedź:

Twierdzenie udowodniono.
Matura z matematyki Poziom podstawowy Geometria Dowodzenie