REKLAMA
REKLAMA

Egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy - czerwiec 2017 (termin dodatkowy)

Równania i nierówności

Równania i nierówności wielomianowe

Rozwiąż nierówność $\left(x-\frac{1}{2}\right)x>3\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)$.

Podpowiedź:

Doprowadź nierówność do postaci, w której po prawej stronie jest zero. Następnie wyłącz wspólny czynnik przed nawias. Otrzymasz w ten sposób nierówność kwadratową.
Nierówność kwadratowa.
REKLAMA

Rozwiązanie:

$\begin{split}
\left(x-\frac{1}{2}\right)x>3\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)\\
\left(x-\frac{1}{2}\right)x-3\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)>0\\
\left(x-\frac{1}{2}\right)\left[x-3\left(x+\frac{1}{3}\right)\right]>0\\
\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-3x-1\right)>0\\
\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(-2x-1\right)>0\\
\end{split}$
Otrzymujemy nierówność kwadratową.
Najpierw rozwiązujemy równanie
$\begin{split}
\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(-2x-1\right)=0\\
x-\frac{1}{2}=0\ \ \vee\ \ -2x-1=0\\
x=\frac{1}{2}\ \ \vee\ \ x=-\frac{1}{2}.
\end{split}$
Szkicujemy parabolę $y=\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(-2x-1\right)$. Ramiona paraboli są skierowane ku dołowi, bo po wykonaniu mnożenia otrzymujemy $-2x^2+\frac{1}{2}$, czyli ujemny współczynnik przy $x^2$.
   Rozwiązanie //. ( pkt.)   707

Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności: $x\in\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right).$

Odpowiedź:

Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba z przedziału $\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$.