REKLAMA
REKLAMA

Egzamin maturalny z matematyki, poziom rozszerzony - maj 2014

Równania i nierówności

Równania i nierówności kwadratowe

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja kwadratowa $f(x)=x^2-(2m+2)x+2m+5$ ma dwa różne pierwiastki $x_1 , x_2$ takie, że suma kwadratów odległości punktów $A=(x_1,0)$ i $B=(x_2,0)$ od prostej o równaniu $x+y+1=0$ jest równa 6.

Podpowiedź:

Funkcja $f$ ma dwa różne pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik $\Delta$ trójmianu kwadratowego $x^2-(2m+2)x+2m+5$ jest dodatni.
Odległość punktu $P=(x_0,y_0)$ od prostej o równaniu $Ax+By+C=0$ obliczamy ze wzoru $\begin{gather*}d=\frac{\left|Ax_0+By_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}.\end{gather*}$
REKLAMA

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ ma dwa różne pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik $\Delta$ trójmianu kwadratowego $x^2-(2m+2)x+2m+5$ jest dodatni
$\begin{split}
\Delta>0\\
\left(-(2m+2)\right)^2-4\cdot 1\cdot (2m+5)>0\\
4m^2+8m+4-8m-20>0\\
4m^2-16>0\\
m^2-4>0\\
(m-2)(m+2)>0\\
m<-2 \ \ \vee\ \ m>2.
\end{split}$
Odległość punktu A od prostej $x+y + 1=0$ wynosi $\begin{gather*}\frac{\left|1\cdot x_1+1\cdot 0+1\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{\left|x_1+1\right|}{\sqrt{2}}.\end{gather*}$
Odległość punktu B od prostej $x+y + 1=0$ wynosi $\begin{gather*}\frac{\left|1\cdot x_2+1\cdot 0+1\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{\left|x_2+1\right|}{\sqrt{2}}.\end{gather*}$
Sprawdzamy dla jakich wartości parametru $m$ spełniony jest warunek:
$\begin{split}
\left(\frac{\left|x_1+1\right|}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{\left|x_2+1\right|}{\sqrt{2}}\right)^2=6\\
\frac{\left(x_1+1\right)^2}{2}+\frac{\left(x_2+1\right)^2}{2}=6\Big/\cdot 2\\
\left(x_1+1\right)^2+\left(x_2+1\right)^2=12\\
x_1^2+2x_1+1+x_2^2+2x_2+1=12\\
x_1^2+x_2^2+2\left(x_1+x_2\right)=10\\
\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+2\left(x_1+x_2\right)=10\\
\end{split}$
Stosujemy wzory $Vie\acute{e}t'a$ i otrzymujemy

$\begin{split}
(2m+2)^2-2(2m+5)+2(2m+2)=10\\
4m^2+8m+4-4m-10+4m+4-10=0\\
4m^2+8m-12=0\Big/:4\\
m^2+2m-3=0\\
\Delta_m=4+12=16, \sqrt{\Delta_m}=4\\
m=\frac{-2-4}{2}=-3\ \ \vee\ \ m=\frac{-2+4}{2}=1
\end{split}$

Wybieramy $m=-3$, bo dla $m=1$ wyróżnik $\Delta<0$, więc funkcja $f$ nie ma miejsc zerowych.

Odpowiedź:

$m=-3$.