REKLAMA
REKLAMA

Egzamin maturalny z matematyki, poziom rozszerzony - maj 2014

Trygonometria

Równania i nierówności trygonometryczne

Rozwiąż równanie $\sqrt{3}\cdot \cos x=1+\sin x$ w przedziale $\left\langle 0,2\pi\right\rangle$.

Podpowiedź:

Przekształć równanie:
$\begin{split}
&\sqrt{3}\cdot \cos x=1+\sin x\\
&\sqrt{3}\cdot \cos x-\sin x=1\Big/:2\\
&\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \cos x-\frac{1}{2}\cdot \sin x=\frac{1}{2}\\
\end{split}$
Zastosuj wzór na sinus różnicy kątów (Wzory trygonometryczne).
REKLAMA

Rozwiązanie:

$\begin{split}
&\sqrt{3}\cdot \cos x=1+\sin x\\
&\sqrt{3}\cdot \cos x-\sin x=1\Big/:2\\
&\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \cos x-\frac{1}{2}\cdot \sin x=\frac{1}{2}\\
&\sin\frac{\pi}{3}\cdot \cos x-\cos\frac{\pi}{3}\cdot \sin x=\frac{1}{2}\\
&\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)=\frac{1}{2}\\
&\frac{\pi}{3}-x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\ \ \vee\ \ \frac{\pi}{3}-x=\pi-\frac{\pi}{6}+2k\pi\\
&-x=\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}+2k\pi\ \ \vee\ \ -x=\pi-\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}+2k\pi\\
&-x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\ \ \vee\ \ -x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\\
&x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\ \ \vee\ \ x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\\
\end{split}$
dla dowolnej liczby całkowitej $k$
Przyjmując $k=0$, dla $\begin{gather*}x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\end{gather*}$ oraz $k=1$, dla $\begin{gather*}x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\end{gather*}$, otrzymujemy $\begin{gather*}x=\frac{\pi}{6}\end{gather*}$ oraz $\begin{gather*}x=\frac{3\pi}{2}\end{gather*}$. Są to jedyne rozwiązania równania w przedziale $\left\langle 0,2\pi\right\rangle$.

Odpowiedź:

$\begin{gather*}x=\frac{\pi}{6}\vee x=\frac{3\pi}{2}\end{gather*}$