REKLAMA
REKLAMA

Egzamin maturalny z matematyki, poziom rozszerzony - maj 2014

Planimetria

Kąt wpisany i środkowy, styczna i cięciwa okręgu

Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg o środku S. Kąty wewnętrzne CAB, ABC i BCA tego trójkąta są równe, odpowiednio, $\alpha$, $2\alpha$ i $4\alpha$.Wykaż, że trójkąt ABC jest rozwartokątny, i udowodnij, że miary wypukłych kątów środkowych ASB, ASC i BSC tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.

Podpowiedź:

Suma miar kątów trójkąta wynosi $180^\circ$, kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku, a co to jest ciąg arytmetyczny - poczytaj: Ciąg arytmetyczny.

REKLAMA

Rozwiązanie:

Suma miar kątów trójkąta wynosi $180^\circ$, więc
$\begin{split}
\alpha+2\alpha+4\alpha=180^\circ\\
7\alpha=180^\circ\\
\alpha=\frac{180^\circ}{7}.
\end{split}$
Największy kąt rójkąta ABC ma miarę
$\begin{split}
4\alpha=4\cdot\frac{180^\circ}{7}>4\cdot \frac{180^\circ}{8}=90^\circ.
\end{split}$
Wykazaliśmy, że trójkąt ABC jest rozwartokątny.
Sporządzimy teraz rysunek:

   Rozwiązanie //. ( pkt.)   494
Kąt wklęsły ASB, którego mirę oznaczyliśmy przez $\beta$, jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt wpisany ACB, ma więc miarę dwa razy większą. Stąd $\beta=2\cdot 4\alpha =8\alpha$.
Miara kąta wypukłego ASB jest równa $|\sphericalangle ASB|=360^\circ-8\alpha$. Jednocześnie obliczyliśmy wcześniej, że $180^\circ=7\alpha$, czyli $360^\circ=14\alpha$.Stąd
$|\sphericalangle ASB|=14\alpha-8\alpha=6\alpha.$
Kąt ASC jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt wpisany ABC, więc
$|\sphericalangle ASC|=2\cdot |\sphericalangle ABC|=2\cdot 2\alpha=4\alpha.$
Kąt BSC jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt wpisany CAB, więc
$|\sphericalangle BSC|=2\cdot |\sphericalangle CAB|=2 \alpha.$
Ciąg
$\left(|\sphericalangle ASB|,|\sphericalangle ASC|,|\sphericalangle BSC|\right)=\left(6\alpha,4\alpha\,2\alpha\right)$ jest malejącym ciągiem arytmetycznym o różnicy $(-2\alpha)$, bo $4\alpha-6\alpha=2\alpha-4\alpha=-2\alpha$.

Odpowiedź:

Wykazaliśmy, że kąt ACB trójkąta ABC jest rozwarty oraz, że ciąg
$\left(|\sphericalangle ASB|,|\sphericalangle ASC|,|\sphericalangle BSC|\right)$ jest malejącym ciągiem arytmetycznym o różnicy $(-2\alpha)$.