REKLAMA
REKLAMA

Poprawkowy egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy - sierpień 2011

Równania i nierówności

Układy równań liniowych

Rozwiązaniem układu równań $\begin{cases}x+3y=5 \\ 2x-y=3\end{cases}$ jest
A. $\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$
B. $\begin{cases}x=2 \\ y=-1\end{cases}$
C. $\begin{cases}x=1 \\ y=2\end{cases}$
D. $\begin{cases}x=1 \\ y=-2\end{cases}$

Podpowiedź:

I sposób
Wyznacz $x$ z I równania i podstaw do II równania. Masz teraz równanie z jedną niewiadomą. Po jego rozwiązaniu otrzymasz wartość niewiadomej $y$.
Teraz podstaw znaną wartość $y$ i otrzymasz równanie z niewiadomą $x$. Po jego rozwiązaniu masz już wartości obu niewiadomych.

II sposób
Pomnóż I lub II równanie stronami przez taką liczbę, aby współczynniki przy niewiadomej $x$ w obu równaniach były przeciwne.
Teraz dodaj do siebie stronami te równania.
Otrzymałeś równanie z jedną niewiadomą - rozwiąż je.
Teraz podstaw znaną wartość $y$ i otrzymasz równanie z niewiadomą $x$. Po jego rozwiązaniu masz już wartości obu niewiadomych.
REKLAMA

Rozwiązanie:

$\begin{cases}x+3y=5 \\ 2x-y=3\end{cases}$
I sposób
Wyznaczmy $x$ z pierwszego równania

$\begin{gather*}x+3y=5 \\ (*)\ x=5-3y\end{gather*}$

Podstawmy $x=5-3y$ do II równania
$\begin{gather*}2x-y=3 \\ 2\left(5-3y\right)-y=3 \\ 10-6y-y=3 \\ -7y=3-10 \\ -7y=-7\Big/:\left(-7\right)\\y=1\end{gather*}$

Mamy już $y=1$, teraz podstawiamy do $(*)$ $x=5-3y=5-3\cdot 1=2$

II sposób
Pomnóżmy I równanie stronami przez -2 tak, aby współczynniki przy niewiadomej $x$ w równaniach I i II były przeciwne
$\begin{gather*}\begin{cases}x+3y=5\Big/\cdot \left(-2\right) \\ 2x-y=3\end{cases} \\ \begin{cases}-2x-6y=-10\\ 2x-y=3\end{cases} \end{gather*}$

Dodajmy do siebie oba równania stronami
$\begin{gather*}\underline{+\begin{cases}-2x-6y=-10\\ 2x-y=3\end{cases}} \\ -2x-6y+2x-y=-10+3 \\ -7y=-7 \Big/:\left(-7 \right) \\ y=1\end{gather*}$

Teraz $y=1$ podstawmy do równania I

$\begin{gather*}x+3y=5 \\ x+3\cdot 1=5 \\ x+3=5 \\ x=5-3=2\end{gather*}$

Odpowiedź:

A.