Matura z Matematyki

Dana jest funkcja f określona wzorem $\begin{split}f(x)=\frac{|x+3|+|x-3|}{x}\end{split}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq0$. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja kwadratowa $f(x)=x^2-(2m+2)x+2m+5$ ma dwa różne pierwiastki $x_1 , x_2$ takie, że suma kwadratów odległości punktów $A=(x_1,0)$ i $B=(x_2,0)$ od prostej o równaniu $x+y+1=0$ jest równa 6.

Rozwiąż równanie $\sqrt{3}\cdot \cos x=1+\sin x$ w przedziale $\left\langle 0,2\pi\right\rangle$.

Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych dodatnich x, y prawdziwa jest nierówność $\begin{split}(x+1)\frac{x}{y}+(y+1)\frac{y}{x}>2\end{split}$.

Dane są trzy okręgi o środkach A,B,C i promieniach równych odpowiednio r, 2r, 3r. Każde dwa z tych okręgów są zewnętrznie styczne: pierwszy z drugim w punkcie K, drugi z trzecim w punkcie L i trzeci z pierwszym w punkcie M. Oblicz stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC.

Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg o środku S. Kąty wewnętrzne CAB, ABC i BCA tego trójkąta są równe, odpowiednio, $\alpha$, $2\alpha$ i $4\alpha$.Wykaż, że trójkąt ABC jest rozwartokątny, i udowodnij, że miary wypukłych kątów środkowych ASB, ASC i BSC tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.

Ciąg geometryczny $(a_n)$ ma 100 wyrazów i są one liczbami dodatnimi. Suma wszystkich wyrazów o numerach nieparzystych jest sto razy większa od sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych oraz $\log a_1+\log a_2+\log a_3+\dots+\log a_{100}=100$. Oblicz $a_1$